Hàm số f(x) có đạo hàm xác định trên R thỏa mãn y = f(x) + f( - x)

19/235

Hàm số \(f(x)\) có đạo hàm xác định trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(y = f(x) + f( - x)\) đồng biến trên khoảng \((1;5)\). Khi đó hàm số \(y = f(x) + f( - x)\) nghịch biến trên khoảng nào?

\(( - 1;1)\).

\((1;2)\).

\(( - 3; - 1)\).

\(( - 2;0)\).

Giải thích

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

- Biến đổi \({y^\prime }\)

- Đặt \(x = - t \Rightarrow t \in ( - 5; - 1)\)

Lời giải

\({y^\prime } = {f^\prime }(x) - {f^\prime }( - x) > 0\,\,\forall x \in (1;5)\)

Đặt \(x = - t \Rightarrow t \in ( - 5; - 1)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {f^\prime }( - t) - {f^\prime }(t) > 0\,\,\forall t( - 5; - 1)\\ \Leftrightarrow {f^\prime }(t) - {f^\prime }( - t) < 0\,\,\,\forall t( - 5; - 1)\\ \Leftrightarrow {f^\prime }(x) - {f^\prime }( - x) < 0\,\,\forall x( - 5; - 1)\end{array}\)

Vậy hàm số \(y = f(x) + f( - x)\) nghịch biến trên \(( - 3; - 1)\).