Hàm số đã cho không có cực trị.

a) Ta có: \(y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{{x + 1}}\)

Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \{ - 1\} \).

Ta có \(y' = 1 - \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{{{{(x + 1)}^2} - 1}}{{{{(x + 1)}^2}}}\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 1 = 1}\\{x + 1 = - 1}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = - 2}\end{array}} \right.} \right.\).

Bảng biến thiên

Trên các khoảng \(( - \infty ; - 2)\) và \((0; + \infty )\) ta có \(y' > 0\) nên hàm số đồng biến trên các khoảng này.

b) Dựa vào bảng biến thiên ta có

Hàm số đạt cực đại tại \(x = - 2\) và , hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\) và \({y_{CT}} = 1\).

c) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{x + 1}} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f(x) - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{x + 1}} = 0\).

Đồ thị hàm số đã cho có một đường tiệm cận xiên \(y = x\).

d) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là \(I( - 1; - 1)\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Đúng; d) Đúng.