Hai trạm phát sóng A và B được đặt cách nhau 10km trên một vùng đất bằng phẳng. Để đảm bảo phủ sóng tốt, cả hai trạm đều được xây trên các trụ cao 100m. Trạm A có bán kính phát sóng 6km, và t

16/22

Hai trạm phát sóng A và B được đặt cách nhau $10km$ trên một vùng đất bằng phẳng. Để đảm bảo phủ sóng tốt, cả hai trạm đều được xây trên các trụ cao $100m$. Trạm A có bán kính phát sóng $6km$, và trạm B có bán kính phát sóng $8km$. Trên mặt đất có nút giao hai con đường ở vị trí C cách chân trạm phát sóng A và B lần lượt là $6km$ và $8km$. Hai flycam ${F_1}$ và ${F_2}$ luôn hoạt động trong vùng phủ sóng của trạm A và trạm B tương ứng. Một ô tô đang di chuyển trên con đường thẳng nối từ chân trạm A đến C, rồi cua vào đường thẳng từ C đến chân trạm B. Gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với điểm $O$ trùng với chân trạm A, mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ là mặt đất, tia $Oz$ hướng thẳng đứng lên, chân trạm B nằm trên tia $Ox$ và điểm C có tung độ dương. Đơn vị mỗi trục tọa độ là 1 km.

Phương trình biểu thị vùng phát sóng của trạm A là phương trình mặt cầu $(S):{x^2} + {y^2} + {(z - 0,1)^2} = 36$.

ĐúngSai

Phương trình đường thẳng AC là: $\frac{x}{{36}} = \frac{y}{{48}} = \frac{{z - 0,1}}{1}$.

ĐúngSai

Khi ô tô đang ở vị trí cách nút giao C $60m$ trên đoạn đường từ chân trạm A tới nút giao C thì ô tô không nằm trong vùng phát sóng của trạm B.

ĐúngSai

Do thời tiết xấu, trạm A giảm công suất phát làm giảm bán kính phủ sóng xuống còn $4km$. Biết rằng flycam ${F_2}$ luôn bay ở độ cao $50m$ so với mặt đất và cách trạm B một khoảng không đổi là $3km$. Tổng khoảng cách lớn nhất giữa ô tô và flycam có thể đạt được là $21km$ (làm tròn đến hàng đơn vị).

ĐúngSai

Giải thích

$Tổng khoảng cách lớn nhất \(D{F_1} + D{F_2} = 22,93 (ảnh 1)$

a) Ta có $A\left( {0;0;0,1} \right)$ và ${R_1} = 6$; $B\left( {10;0;0,1} \right)$ và ${R_2} = 8$. Gọi $O,\,B'$ lần lượt là chân của trạm phát sóng A và B.

Phương trình biểu thị vùng phát sóng của trạm A là phương trình mặt cầu $(S):{x^2} + {y^2} + {(z - 0,1)^2} = 36$. Vậy a – đúng.

b) Gọi $H;\,\,K$ là hình chiếu vuông góc của C lên trục hoành và trục tung

Có tam giác $ACB$ vuông vì$A{B^2} = A{C^2} + B{C^2}$

Điểm C (nút giao đường) nằm trên mặt đất $(Oxy)$, có tung độ dương nên tọa độ $C(x;y;0)$ thuộc 2 mặt cầu ${x^2} + {y^2} = {6^2}$ và ${(x - 10)^2} + {y^2} = {8^2}$.

Giải hệ phương trình ta được $x = 3,6$ và $y = 4,8$. Vậy $C(3,6;4,8;0)$.

Nên một vecto chỉ phương của đường thẳng AC là $\overrightarrow n (36;48; - 1)$

Vậy phương trình đường thẳng AC là $\frac{x}{{36}} = \frac{y}{{48}} = \frac{{z - 0,1}}{{ - 1}}$. Vậy b – sai.

c) Ta có $OC = 6km;\,CD = 60m = 0,06km$$ \Rightarrow OD = OC - CD = 6 - 0,06 = 5,94$

Có $\frac{{OE}}{{OH}} = \frac{{OD}}{{OC}} \Rightarrow OE = \frac{{OH \times OD}}{{OC}} = 3,564$

Có $\frac{{OF}}{{OK}} = \frac{{OD}}{{OC}} \Rightarrow OF = \frac{{OK \times OD}}{{OC}} = 4,752$, vậy $D\left( {3,564;\,4752;\,0} \right)$

$ \Rightarrow BD = \sqrt {{{(10 - 3,564)}^2} + {{(4,752)}^2} + 0,{1^2}} = 8,00085 > 8$. Vậy c – đúng.

$Tổng khoảng cách lớn nhất \(D{F_1} + D{F_2} = 22,93 (ảnh 2)$

d) Gọi $J$ là hình chiếu vuông góc của ${F_2}$ lên $BB'$

$ \Rightarrow {F_2}B = 3;\,\,BJ = 0,05;\,\,{F_2}J = \sqrt {{3^2} - 0,{{05}^2}} = 2,999583304$

Gọi G là hình chiếu vuông góc của ${F_2}$ lên mặt phẳng $Oxy$

${F_2}D = \sqrt {{F_2}{G^2} + D{G^2}} $, nên ${F_2}D$ đạt lớn nhất khi $DG$ lớn nhất, khi đó $D,\,\,B',\,\,G$thẳng hàng

$ \Rightarrow DG = DB' + B'G$ $ = \sqrt {{{(10 - 3,564)}^2} + 4,{{752}^2}} + 2,999583304 \approx 10,9998083$.

$ \Rightarrow D{F_2} = \sqrt {0,{{05}^2} + D{G^2}} = 10,99992194$

Lại có $D{F_1}$ lớn nhất khi $D,\,\,A,\,\,{F_1}$ thẳng hàng$ \Rightarrow D{F_1} = {R_1} + AD = 6 + 5,94 = 11,94$

Tổng khoảng cách lớn nhất $D{F_1} + D{F_2} = 22,9392194 \approx 23$ km. Vậy d – sai.