Hai tiếp tuyến của đường tròn ( O ) tại B và C cắt nhau tại K . Chứng minh K thuộc một đường tròn cố định khi d thay đổi.

14/15

c) Hai tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\] tại \[B\] và \[C\] cắt nhau tại \[K\]. Chứng minh \[K\] thuộc một đường tròn cố định khi \[d\] thay đổi.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$c) Hai tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O (ảnh 1)$

⦁ Gọi $H$ là giao điểm của $MN$ và $OA.$

Ta có $AM = AN$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và $OM = ON$ nên $A,\,\,O$ cùng nằm trên đường trung trực của $MN$ hay $OA$ là đường trung trực của $MN$.

Suy ra \[MN \bot OA\] hay \[HN \bot OA\].

Xét \[\Delta OHN\] và \[\Delta ONA\], có: \[\widehat {OHN} = \widehat {ONA} = 90^\circ \] và \[\widehat {AON}\] là góc chung

Do đó ΔOHN∽ΔONA (g.g)

Suy ra \[\frac{{OH}}{{ON}} = \frac{{ON}}{{OA}}\] suy ra \[OH.OA = O{N^2} = {R^2}\] (3).

⦁ Ta có $OC = OB,\,\,IC = IB$ (do $I$ là trung điểm của $BC),$$KC = KB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên ba điểm $O,\,\,I,\,\,K$ thẳng hàng.

Xét \[\Delta OIB\] và \[\Delta OBK\], có: \[\widehat {OIB} = \widehat {OBK} = 90^\circ \] và \[\widehat {BOK}\] là góc chung

Do đó ΔOIB∽ΔOBK (g.g)

Suy ra \[\frac{{OI}}{{OB}} = \frac{{OB}}{{OK}}\] suy ra \[OI.OK = O{B^2} = {R^2}\] (4).

Từ (3) và (4) suy ra \[OI.OK = OH.OA = {R^2}.\] Từ đó, ta có \[\frac{{OI}}{{OH}} = \frac{{OA}}{{OK}}\].

Xét \[\Delta OIA\] và \[\Delta OHK\] có: \[\widehat {AOK}\] là góc chung và \[\frac{{OI}}{{OH}} = \frac{{OA}}{{OK}}\]

Do đó ΔOIA∽ΔOHK (c.g.c)

Suy ra \[\widehat {OHK} = \widehat {OIA} = 90^\circ \], suy ra \[HK \bot OA\].

Mà \[MN \bot OA\] tại \[H\] và \[MN\] cố định (do điểm $A$ cố định), do đó \[K\] thuộc \[MN\] cố định.