Hai thành phố cách nhau một con sông. Lấy A và B lần lượt là hai điểm mốc của hai thành phố trong việc đo đạc, đơn vị là km. Người ta xây dựng một cây cầu EF bắc qua sông biết rằng vị trí A c
28/40
Hai thành phố cách nhau một con sông. Lấy A và B lần lượt là hai điểm mốc của hai thành phố trong việc đo đạc, đơn vị là km. Người ta xây dựng một cây cầu EF bắc qua sông biết rằng vị trí A cách con sông một khoảng \[AH = 5\,\,km\] và vị trí B cách con sông một khoảng là \[BK = \]7 km (xem hình vẽ), biết \(HE + KF = 24\,\,km\) và độ dài EF không đổi. Đặt \(HE = x\left( {km} \right),0 < x < 24\).
Những phương án nào dưới đây đúng?
1. \[AE = \sqrt {25 + {x^2}} \,\,\left( {km} \right),\,\,BF = \sqrt {49 + {{\left( {24 - x} \right)}^2}} \,\,\left( {km} \right)\].
2. Tổng quãng đường đi từ A đến B bằng \[\sqrt {25 + {x^2}} + \sqrt {49 + {x^2}} + EF\] (km).
3. Nếu đặt \[f\left( x \right) = AE + BF\] (km) thì \[f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 25} }} + \frac{{x - 24}}{{\sqrt {{x^2} - 48x + 625} }},\,\forall x \in \left( {0\,;\,\,24} \right)\].
4. Người ta muốn đi từ A đến B theo quãng đường ngắn nhất thì họ phải xây cầu sao cho khoảng cách hai điểm \(B,F\) bằng 9 km.
1. Đúng. Với \[HE = x\] thì \[FK = 24 - x\] (\[0 < x < 24\]). Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}AE = \sqrt {25 + {x^2}} \\BF = \sqrt {49 + {{\left( {24 - x} \right)}^2}} \end{array} \right.\].
2. Sai. Tổng quãng đường đi từ A đến B là \[AE + EF + BF = \sqrt {25 + {x^2}} + \sqrt {49 + {{\left( {24 - x} \right)}^2}} + EF\] (km).
3. Đúng. Xét hàm số \[f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 25} + \sqrt {{x^2} - 48x + 625} \];
\[f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 25} }} + \frac{{x - 24}}{{\sqrt {{x^2} - 48x + 625} }},\,\forall x \in \left( {0\,;\,\,24} \right)\].
4. Sai. Ta cần tổng quãng đường \[AE + EF + FB\] ngắn nhất, mà EF không đổi nên \[AE + FB\] bé nhất.
Từ câu c) ta có \[f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 25} }} + \frac{{x - 24}}{{\sqrt {{x^2} - 48x + 625} }},\,\forall x \in \left( {0\,;\,\,24} \right)\]; \[f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow x = 10\].
Bảng biến thiên:
Ta có: \[\mathop {\min }\limits_{\left( {0\,;\,\,24} \right)} f\left( x \right) = 12\sqrt 5 \]; khi đó \[x = 10\,\,km\] và \[BF = 7\sqrt 5 \,\,km \approx 15,65\,\,km\]. Chọn 1, 3.