Hai thành phố A và B cách nhau một con sông. Người ta xây dựng một cây cầu EF bắc qua sông biết rằng thành phố A
22/22
Hai thành phố A và B cách nhau một con sông. Người ta xây dựng một cây cầu \(EF\) bắc qua sông biết rằng thành phố \(A\) cách con sông một khoảng là \(4\,{\rm{km}}\) và thành phố \(B\) cách con sông một khoảng là \(6\,{\rm{km}}\)(hình vẽ), biết \(HE + KF = 20\,\,{\rm{km}}\) và độ dài \(EF\) không đổi. Hỏi xây cây cầu cách thành phố \(A\) là bao nhiêu kilomet để đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất (đi theo đường \(AEFB\))? (kết quả làm tròn đến phần chục).
Đặt \[HE = x,FK = y\], với \[x,\,y > 0\].
Ta có \[HE + KF = 20 \Rightarrow x + y = 20\], \[\left\{ \begin{array}{l}AE = \sqrt {16 + {x^2}} \\BF = \sqrt {36 + {y^2}} = \sqrt {36 + {{\left( {20 - x} \right)}^2}} \end{array} \right.\].
Nhận xét: Vì \[EF\] không đổi nên \[AB\] ngắn nhất khi \[AE + BF\] nhỏ nhất.
Ta có \[AE + BF\]\[ = \sqrt {{x^2} + 16} + \sqrt {{{\left( {20 - x} \right)}^2} + 36} = \sqrt {{x^2} + 16} + \sqrt {{x^2} - 40x + 436} = f\left( x \right)\].
\[f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 16} }} + \frac{{x - 20}}{{\sqrt {{x^2} - 40x + 436} }},\,\forall x \in \left( {0;20} \right)\].
Cho \[f'(x) = 0 \Rightarrow x = 8\].
Bảng biến thiên:
Vậy \(AE = \sqrt {{8^2} + 16} \approx 8,94\,\,{\rm{(km)}}\).
Đáp án: 8,94.