Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho AM = MD. a) Chứng minh tam giác AMB = tam giác DMC (ảnh 2)

a) Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta DMC\) có:

\(AM = MD\) (giả thiết);

\(\widehat {AMB} = \widehat {DMC};\)

\(BM = MC\) (giả thiết).

Do đó \(\Delta AMB = \Delta DMC\,\,\left( {c.g.c} \right).\)

b) Ta có \(BI \bot AD\) nên \(\widehat {BIA} = 90^\circ ;\)

\(CK \bot AD\) nên \(\widehat {CKD} = 90^\circ .\)

Do đó \(\widehat {BIK} = \widehat {CKI} = 90^\circ .\)

Mà hai góc này so le trong, nên \[BI\,{\rm{//}}\,CK.\]

Do \(\Delta AMB = \Delta DMC\) (câu a) nên \(AB = CD\) và \(\widehat {BAI} = \widehat {CDM}.\)

Xét \(\Delta ABI\) và \(\Delta DCK\) có:

\(AB = CD\) (chứng minh trên);

\(\widehat {BIA} = \widehat {CKD} = 90^\circ ;\)

\(\widehat {BAI} = \widehat {CDK}\)

Do đó \(\Delta ABI = \Delta DCK\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(AI = DK\) (hai cạnh tương ứng).

c) \(\Delta AMB = \Delta DMC\) (câu a) \(\widehat {ABM} = \widehat {DCM}\) (hai góc tương ứng)

Xét \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\] (giả thiết) nên \(\widehat {ABM} + \widehat {ACB} = 90^\circ \)

Mà \(\widehat {ABM} = \widehat {DCM}\) nên \(\widehat {DCM} + \widehat {ACB} = 90^\circ \)

Lại có \(\widehat {DCM} + \widehat {ACB} = \widehat {ACD}\) nên \(\widehat {ACD} = 90^\circ .\)

Xét \(\Delta BAC\) và \(\Delta DCA\) có:

\(AB = CD\) (giả thiết);

\(\widehat {BAC} = \widehat {ACD} = 90^\circ ;\)

\(AC\) là cạnh chung

Do đó \(\Delta BAC{\rm{ = }}\Delta DCA\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}{\rm{.}}\)

Suy ra \(AD = BC\) (hai cạnh tương ứng).d) Ta có \(AD = BC\) nên \(\frac{{AD}}{2} = \frac{{BC}}{2}\)

Suy ra \(AM = MD = BM = MC\)

Nếu \(AI = IM\) thì \(\Delta ABI = \Delta MBI(c.g.c)\)

Suy ra \(AB = BM\) (hai cạnh tương ứng).

Mà \(AM = BM\) nên \(\Delta ABM\)đều, do đó \(\widehat {ABC} = 60^\circ .\)

Ta sẽ chứng minh khi \[AI = IM\] thì \[AI = IM = MK = KD.\]

Thật vậy:

Ta có \(AI = IM;\,\,AI = DK(cmt)\) nên \(AI = IM = DK.\) (1)

Lại có \(AI + IM = AM;\,\,MK + DK = MD;\,\,AM = MD\) nên \(AI + IM = MK + DK.\) (2)

Từ (1), (2) ta có \(AI = IM = MK = DK.\)

Vậy \(\Delta ABC\) cần thêm điều kiện \(\widehat {ABC} = 60^\circ \) thì \[AI = IM = MK = KD.\]

Hai số nào sau đây cùng biểu diễn một số hữu tỉ?