Hai nhà máy được đặt tại các vị trí A và B cách nhau 4 km . Nhà máy xử lí nước thải được đặt ở vị trí C trên đường trung trực của đoạn thẳng A B , cách trung điểm M của đoạn thẳng

Phương pháp giải

  ¾  Đặt \(IM = x\), biểu thị \(IA + IB + IC\) thông qua các đại lượng đã biết và ẩn.

  ¾  Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) :

Bước 1. Tìm các điểm \({x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}\) thuộc khoảng (\(a;b\)) mà tại đó \(f'\left( x \right)\) bằng 0 hoặc không tồn tại.
Βước 2. Tính \(f\left( a \right);f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right); \ldots ;f\left( {{x_n}} \right);f\left( b \right)\).
Bước 3. Gọi \(M\) là số lớn nhất và \(m\) là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được ở Bước 2. Khi đó:

Giải chi tiết

Đặt \(IM = x\left( {km} \right)\left( {0 \le x \le 3} \right)\).
Ta có: \(IA = IB = \sqrt {I{M^2} + M{A^2}} = \sqrt {{x^2} + 4} ;IC = MC - IM = 3 - x\)
Tổng độ dài đường ống là: \(IA + IB + IC = 2\sqrt {{x^2} + 4} + 3 - x\).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = 2\sqrt {{x^2} + 4} + 3 - x\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\).
Ta có: $f^{\text{'}}\left(x\right)=2\cdot \frac{{\left(x^2+4\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{x^2+4}}-1=2\cdot \frac{2\text{x}}{2\sqrt{x^2+4}}-1=\frac{2\text{x}}{\sqrt{x^2+4}}-1$
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{2{\rm{x}}}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }} = 1 \Leftrightarrow 2{\rm{x}} = \sqrt {{x^2} + 4} \Leftrightarrow 4{{\rm{x}}^2} = {x^2} + 4 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow x = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\) hoặc \(x = - \frac{2}{{\sqrt 3 }}\) (loại).\(f\left( 0 \right) = 7;f\left( {\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right) = 3 + 2\sqrt 3 ;f\left( 3 \right) = 2\sqrt {13} \).
Vậy ${\text{min}}_{\left[0;3\right]}f\left(x\right)=f\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=3+2\sqrt{3}$.
Vậy \(IM = \frac{2}{{\sqrt 3 }} \approx 1,155\left( {{\rm{\;km}}} \right)\) thì tổng độ dài đường ống nhỏ nhất bằng \(3 + 2\sqrt 3 \approx 6,464\left( {{\rm{\;km}}} \right)\).

Đáp án cần chọn là: A