Hướng dẫn giải

$a) Chứng minh rằng \[OD \bo (ảnh 1)$

a) Xét \[\Delta OBC\] cân tại \[O\] (do \[OC = OB = R\]) nên đường trung tuyến \[OK\] cũng là đường cao của \[\Delta OBC.\] Suy ra \[OK \bot BC\] hay \[OD \bot BC\].

Xét nửa đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB,\) có \[\widehat {ACB}\] là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \[\widehat {ACB} = 90^\circ .\]

Vậy \[\Delta ABC\] vuông tại \[C\].

b) Xét \[\Delta OBC\] cân tại \[O\] (do \[OC = OB = R\]) nên đường trung tuyến \[OK\] cũng là đường phân giác của \[\Delta OBC.\] Do đó \(\widehat {BOD} = \widehat {COD}.\)

Xét \[\Delta CDO\] và \[\Delta BDO\] có:

\[OD\] là cạnh chung; \(\widehat {BOD} = \widehat {COD}\); \[OB = OC\]

Do đó \[\Delta CDO = \Delta BDO\] (c.g.c).

Suy ra \[\widehat {DCO} = \widehat {DBO} = 90^\circ \] (hai góc tương ứng).

Như vậy, \[OC \bot DC\] tại \[C\] thuộc \(\left( O \right)\) hay \[DC\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\].

c) Gọi \[F\] là giao điểm của \[BC,\,\,AE.\]

Ta có: \[IC \bot AB\] và \[AF \bot AB\], suy ra \[IC\,{\rm{//}}\,AF\] hay \[IC\,{\rm{//}}\,EF\].

Xét \[\Delta BEF\], có: \[\frac{{IC}}{{EF}} = \frac{{IB}}{{EB}}\] (Hệ quả định lí Thalès) (1)

Xét \[\Delta BAE\], có: \[\frac{{IH}}{{AE}} = \frac{{IB}}{{EB}}\] (Hệ quả định lí Thalès) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[\frac{{IC}}{{EF}} = \frac{{IH}}{{EA}}\], mà \[IC = IH\] (do \(I\) là trung điểm của \(CH)\) nên \[EF = EA\] hay \[E\] là trung điểm của \[AF.\]

Ta có \[\widehat {FCA} = 90^\circ \] (cùng bù với \[\widehat {ACB} = 90^\circ \]) nên \[\Delta FCA\] vuông tại \[C\].

Xét \(\Delta ACF\) vuông tại \(C,\) có \(CE\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AF\) nên \[CE = EA = EF = \frac{1}{2}AF.\]

Xét \[\Delta CEO\] và \[\Delta AEO\], có:

\[CE = AE\], \[OC = OA\] và \[OE\] là cạnh chung

Do đó \[\Delta CEO = \Delta AEO\] (c.c.c)

Suy ra \[\widehat {ECO} = \widehat {EAO} = 90^\circ \] (hai góc tương ứng).

Ta có: \[\widehat {ECO} + \widehat {OCD} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \] hay \[\widehat {ECD} = 180^\circ \].

Vậy ba điểm \[E,C,D\] thẳng hàng.

$a) Chứng minh rằng \[OD \bo (ảnh 2)$

Hai đường tròn chỉ có một điểm chung được gọi là hai đường tròn