Hai điểm M và K thứ tự nằm trên cạnh AB và BC của tam giác ABC
13/17
Hai điểm M và K thứ tự nằm trên cạnh AB và BC của tam giác ABC; hai đoạn thẳng AK và CM cắt nhau tại P. Biết AP = 2PK và CP = 2PM. Chứng minh rằng AK và CM là các trung tuyến của tam giác ABC
Giải thích
Xét △PAC và △PKM,ta có:
Suy ra: 
Lại có:∠(APC) = ∠(KPM) (đối đỉnh)
Suy ra: △PKM đồng dạng △PAC(c.g.c) với tỉ số đồng dạng k = 1/2
Suy ra: 
(1)
Vì △PKM đồng dạng △PAC nên ∠(PKM) = ∠(PAC)
Suy ra: KM //AC (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)
Trong △ABC, ta có: KM // AC
Suy ra: △BMK đồng dạng △BAC (g.g)
Suy ra: 
(2)
Từ 1 và (2) suy ra: 
Vì BM = 1/2 BA nên M là trung điểm AB.
Vì BK = 1/2 BC nên K là trung điểm BC.