Hai đa thức A(x) và B(x) thỏa mãn: A(x) + B(x) = x3 − 5x2 − 2x + 4  và A(x) − B(x) = − x3 + 3x2 − 2.

a) Ta có:[A(x) + B(x)] + [A(x) − B(x)] = (x³ − 5x² − 2x + 4) + (−x³ + 3x² − 2)

A(x) + B(x) + A(x) − B(x) = x³ − 5x² − 2x + 4 − x³ + 3x² − 2

A(x) + A(x) + B(x) − B(x) = x³ − x³ + (−5x² + 3x²) − 2x + (4 − 2)

2A(x) = −2x² − 2x + 2

Do đó A(x) = (−2x² − 2x + 2) : 2 = −x² − x + 1 (1)

Mặt khác theo đề bài, A(x) + B(x) = x³ − 5x² − 2x + 4.

Từ (1) suy ra:

B(x) = x³ − 5x² − 2x + 4 − A(x) = x³ − 5x² − 2x + 4 − (−x² − x + 1).

Do đó B(x) = x³ − 5x² − 2x + 4 + x² + x − 1

= x³ + (−5x² + x²)+ (−2x + x) + (4 − 1)

= x³ −4x²  − x + 3.

Kết quả, ta được:

A(x) = −x² − x + 1 là một đa thức bậc hai với hệ số cao nhất là –1, hệ số tự do là 1.

B(x) = x³ −4x²  − x + 3 là một đa thức bậc ba với hệ số cao nhất là 1, hệ số tự do là 3.