Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Tại thời điểm t chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát 4 km về phía tây và 3 km về phía nam, đồng thời cách mặt đất 1,5 km, chiếc thứ hai
21/25
Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Tại thời điểm t chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát 4 km về phía tây và 3 km về phía nam, đồng thời cách mặt đất 1,5 km, chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát 2 km về phía đông và 5 km về phía bắc, đồng thời cách mặt đất 2 km. Chọn hệ trục Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời (tham khảo hình), đơn vị đo lấy theo kilômét. Giả sử tại thời điểm t vị trí chiếc khinh khí cầu thứ nhất là điểm A, vị trí khinh khí cầu thứ hai là điểm B. Để theo dõi tín hiệu của hai chiếc khinh khí cầu tại hai điểm A và B, người ta bắc trạm ra đa tại vị trí điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy). Tín hiệu thu được tốt nhất khi và chỉ khi MA + MB nhỏ nhất. Khi đó M có tọa độ là (a; b; c). Tính a + b + c.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 1
Ta có A(4; 3; 1,5); B(−2; −5; 2).
Gọi A'(4; 3; −1,5) là điểm đối xứng với A(4; 3; 1,5) qua mặt phẳng (Oxy).
Ta có MA + MB = MA' + MB ≥ A'B.
Suy ra MA + MB nhỏ nhất khi A', M, B thẳng hàng.
Với M(x; y; 0). Ta có \(\overrightarrow {MA'} = \left( {4 - x;3 - y; - 1,5} \right),\overrightarrow {A'B} = \left( { - 6; - 8;3,5} \right)\).
Khi đó ta có \(\frac{{4 - x}}{{ - 6}} = \frac{{3 - y}}{{ - 8}} = \frac{{ - 1,5}}{{3,5}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{10}}{7}\\y = - \frac{3}{7}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow M\left( {\frac{{10}}{7}; - \frac{3}{7};0} \right)\).
Suy ra \(a = \frac{{10}}{7};b = - \frac{3}{7};c = 0\). Vậy a + b + c = 1.