Hai chiếc flycam được điều khiển cùng bay lên tại một địa điểm

20/22

Hai chiếc flycam được điều khiển cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc flycam thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Bắc \[20\left( m \right)\]và về phía Tây \[10\left( m \right)\], đồng thời cách mặt đất \[0,7\left( m \right)\]. Chiếc flycam thứ hai cách điểm xuất phát về phía Nam \[30\left( m \right)\]và về phía Đông \[25\left( m \right)\], đồng thời cách mặt đất \[1\left( m \right)\]. Trên mặt đất, người ta xác định một vị trí sao cho tổng khoảng cách từ đó đến hai chiếc flycam ngắn nhất. Tính khoảng cách (m) từ điểm xuất phát đến vị trí vừa xác định được (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Giải thích

Đáp án: 4,45.

Chọn hệ trục toạ độ\[{\rm{Ox}}yz\] như hình vẽ, với điểm xuất phát là gốc toạ độ. \[\left( {{\rm{Ox}}y} \right)\] là mặt đất.

Hai chiếc flycam được điều khiển cùng bay lên tại một địa điểm (ảnh 1)

Khi đó \[A\left( {20; - 10;0,7} \right)\]là vị trí của flycam thứ nhất, \[B\left( { - 30;25;1} \right)\] là vị trí của flycam thứ hai, Ta thấy 2 điểm này nằm cùng phía so với mp\[\left( {Oxy} \right)\].

Gọi \[A'\left( {20; - 10; - 0,7} \right)\] là điểm đối xứng với \[A\] qua mặt phẳng toạ độ \[\left( {Oxy} \right)\].

Gọi \[M\left( {x;y;0} \right)\] là điểm trên mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] để \[MA + MB\] nhỏ nhất.

Ta có \[MA + MB = MA' + MB \ge A'B\]. Dấu bằng xảy ra khi \[M,A',\,B\] thẳng hàng.

\[\overrightarrow {A'M} = \left( {x - 20;y + 10;0,7} \right),\,\,\overrightarrow {A'B} = \left( { - 50;35;1,7} \right)\]

Khi đó \[\overrightarrow {A'M} = k.\overrightarrow {A'B} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 20 = - 50k\\y + 10 = 35k\\0,7 = 1,7k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 10}}{{17}}\\y = \frac{{75}}{{17}}\\k = \frac{7}{{17}}\end{array} \right.\]nên \[M\left( {\frac{{ - 10}}{{17}};\frac{{75}}{{17}};0} \right),OM \approx 4,45\].