Hai bạn An và Bình làm chung một dự án thì hoàn thành sau 6 ngày. Nếu làm một mình xong dự án thì Bình làm nhanh hơn An 5 ngày. Vậy nếu An làm một mình xong dự án đó trong bao nhiêu ngày?

Hướng dẫn giải

Đáp án: 15

Gọi thời gian bạn An và bạn Bình làm riêng xong dự án lần lượt là x (ngày) và y (ngày), điều kiện: x > 6, y > 6.

Trong một ngày, An làm riêng được \(\frac{1}{{\rm{x}}}\) (dự án).

Trong một ngày, Bình làm riêng được \(\frac{1}{{\rm{y}}}\) (dự án).

Trong một ngày, cả hai bạn làm được \(1:6 = \frac{1}{6}\) (dự án).

Ta có phương trình: \(\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{1}{6}\) (1).

Vì nếu làm một mình xong dự án thì Bình làm nhanh hơn An 5 ngày nên x – y = 5 (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{\rm{x}}} + \frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{1}{6}\\{\rm{x}} - {\rm{y}} = 5\end{array} \right.\).

Từ phương trình thứ hai trong hệ ta có: x = y + 5.

Thay x = y + 5 vào phương trình thứ nhất của hệ ta có:

\(\frac{1}{{{\rm{y}} + 5}} + \frac{1}{{\rm{y}}} = \frac{1}{6}\)

\(\frac{{{\rm{6y}}}}{{{\rm{6y}}\left( {{\rm{y}} + 5} \right)}} + \frac{{{\rm{6y}} + 30}}{{{\rm{6y}}\left( {{\rm{y}} + 5} \right)}} = \frac{{{\rm{y}}\left( {{\rm{y}} + 5} \right)}}{{6{\rm{y}}\left( {{\rm{y}} + 5} \right)}}\)

6y + 6y + 30 = y² + 5y

y² – 7y – 30 = 0

y² – 10y + 3y – 30 = 0

y(y – 10) + 3(y – 10) = 0

(y + 3)(y – 10) = 0

y – 10 = 0 (do y + 3 > 0 với y > 6).

y = 10 (thỏa mãn).

Với y = 10 thì x = 10 + 5 = 15 (thỏa mãn).

Vậy An làm một mình xong dự án trong 15 ngày.