H M = 1 /3 A C .

a) Sai.

Vì \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC\) nên \(\widehat {AHC} = 90^\circ .\) Do đó, tam giác \(AHC\) vuông tại \(H.\) Mà \(HM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AC.\) Do đó, \(HM = \frac{1}{2}AC.\)

b) Đúng.

Tứ giác \(AHCN\) có: \(M\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC,\;HN;\)\(M\) là trung điểm của \(AC,\;M\) là trung điểm của \(HN.\) Do đó, tứ giác \(AHCN\) là hình bình hành.

Lại có: \(\widehat {AHC} = 90^\circ \) nên tứ giác \(AHCN\) là hình chữ nhật.

c) Đúng.

Vì tứ giác \(AHCN\) là hình chữ nhật nên \(\widehat {ANC} = 90^\circ .\)

d) Sai.

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AH = NC,\;AN = HC.\)

Vì diện tích tam giác \(AHC\) bằng \(20\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\) nên: \(\frac{1}{2} \cdot AH \cdot HC = 20\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)

Diện tích tam giác \(ANC\) vuông tại \(N\) là: \(S = \frac{1}{2}AN \cdot NC = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot HC = 20\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)

Vậy diện tích tam giác \(ANC\) bằng \(20\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)