Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x^2 − 3x − 9 = 0. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức P = x1/(x2 − 5) + x2/(x1 − 5).

a) Vì phương trình có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\) nên theo hệ thức Viète ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 3}\\{{x_1}{x_2} =  - 9}\end{array}} \right.\).

Ta biến đổi biến biểu thức:

\(P = \frac{{{x_1}}}{{{x_2} - 5}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1} - 5}} = \frac{{{x_1}\left( {{x_1} - 5} \right) + {x_2}\left( {{x_2} - 5} \right)}}{{\left( {{x_1} - 5} \right)\left( {{x_2} - 5} \right)}}\)

\( = \frac{{x_1^2 + x_2^2 - 5\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2} - 5\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 25}}\)

\( = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} - 5\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2} - 5\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 25}}\)

\( = \frac{{{3^2} - 2 \cdot \left( { - 9} \right) - 5 \cdot 3}}{{ - 9 - 5 \cdot 3 + 25}} = 12.\)

Vậy \(P = 12\).

b) \( \oplus \) Gọi \(x,y\) (triệu /m2) lần lượt là tiền vật liệu và tiền công thợ mà bác Năm dự tính cho mỗi mét vuông xây dựng. Điều kiện: \(x > 0,y > 0\).

\( \oplus \) Suy ra với 80m² thì tổng chi phí dự tính ban đầu là: \(80x + 80y\) (triệu) nên ta có phương trình:

\(80x + 80y = 640\) hay \(x + y = 8\) (1).

\( \oplus \) Vì giá vật liệu tăng lên 10% cho mỗi m² và tiền công thợ cho mỗi m2 giảm 10% so với dự tính nên ta có tổng chi phí lúc sau là: \(80 \cdot \left( {x + 10\% x} \right) + 80 \cdot \left( {y - 10\% y} \right) = 88x + 72y\) (triệu) nên ta có phương trình: \(88x + 72y = 672\) hay \(11x + 9y = 84\) (2).

\( \oplus \) Vì vậy ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 8}\\{11x + 9y = 84}\end{array}} \right..\)

Giải hệ phương trình ta được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 6}\\{y = 2}\end{array}} \right.\).

\( \oplus \) Vậy thực tế bác Năm trả 6,6 triệu tiền vật liệu và 1,8 triệu tiền công thợ cho mỗi mét vuông.