Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x^2 – 2x – 5 = 0. Không giải phương trình, hãy tính: a) x1^3 + x2^3; b)

Áp dụng định lí Viète, ta có: x₁ + x₂ = 2; x₁x₂ = −5. Do đó:

a) Ta có:

x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)(x₁² – x₁x₂ + x₂²)

= (x₁ + x₂)(x₁² + 2x₁x₂ + x₁² – 3x₁x₂)

\( = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right] = 2.\left[ {{2^2} - 3.\left( { - 5} \right)} \right] = 2.\left( {4 + 15} \right)\)

= 2.19 = 38.

b) Ta có \(\frac{1}{{{x_1}^2}} + \frac{1}{{{x_2}^2}} = \frac{{{x_1}^2 + {x_2}^2}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{{2^2} - 2.\left( { - 5} \right)}}{{{{\left( { - 5} \right)}^2}}} = \frac{{4 + 10}}{{25}} = \frac{{14}}{{25}}.\)