Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x ^2 − 3 x + 2 = 0

Cho phương trình: \({x^2} - 3x + 2 = 0\) (1)

Vì \(\Delta  = 1 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm nên theo hệ thức Vi-ét: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 3}\\{{x_1}{x_2} = 2}\end{array}} \right.\)

Biểu thức cần tính là: \(P = x_1^3 + 3x_2^2 + 2{x_1} + 2011\)

Ta có: \(x_1^3 = {x_1}\,.\,x_1^2\)  và từ phương trình (1) suy ra: \(x_1^2 = 3{x_1} - 2\)

Nên: \(x_1^3 = {x_1}(3{x_1} - 2) = 3x_1^2 - 2{x_1}\)

Thay \(x_1^3\) vào biểu thức \(P\):

\(P = (3x_1^2 - 2{x_1}) + 3x_2^2 + 2{x_1} + 2011 = 3x_1^2 + 3x_2^2 + ( - 2{x_1} + 2{x_1}) + 2011\)\( = 3(x_1^2 + x_2^2) + 2011\)

Ta có: \(x_1^2 + x_2^2 = {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2} = {3^2} - 2\,\,.\,\,2 = 9 - 4 = 5\)

Vậy \(P = 3.5 + 2011 = 15 + 2011 = 2026\)