Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình

Xét phương trình \({x^2} - x - 1 = 0\quad \left( 1 \right)\)

Ta có: \(ac =  - 1 < 0\) nên PT (1) luôn có hai nghiệm trái dấu \({x_1},{x_2}\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1\\{x_1}{x_2} =  - 1\end{array} \right.\)

Xét \(\frac{{{x_2} + 1}}{{{x_1}}} + \frac{{{x_1} + 1}}{{{x_2}}}\) \( = \frac{{x_2^2 + {x_2} + x_1^2 + {x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}\) \( = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}\) \( = \frac{{{1^2} + 2 - 1}}{{ - 1}}\) \( =  - 2\)

\(\frac{{{x_2} + 1}}{{{x_1}}}.\frac{{{x_1} + 1}}{{{x_2}}}\) \( = \frac{{{x_1}.{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1}}{{{x_1}.{x_2}}}\) \( = \frac{{ - 1 + 1 + 1}}{{ - 1}}\) \( =  - 1\)\(\)

Do đó: \(\frac{{{x_2} + 1}}{{{x_1}}};\) \(\frac{{{x_1} + 1}}{{{x_2}}}\)là nghiệm của phương trình bậc hai ẩn t sau: \({t^2} + 2t - 1 = 0.\)