Gọi x0 là nghiệm dương nhỏ nhất của \(\cos 2x + \sqrt 3 \sin 2x + \sqrt 3 \sin x - \cos x = 2\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

12/25

Gọi x₀ là nghiệm dương nhỏ nhất của \(\cos 2x + \sqrt 3 \sin 2x + \sqrt 3 \sin x - \cos x = 2\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

\({x_0} = \left( {0;\frac{\pi }{{12}}} \right)\).

\({x_0} = \left[ {\frac{\pi }{{12}};\frac{\pi }{6}} \right]\).

\({x_0} = \left( {\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{3}} \right]\).

\({x_0} = \left( {\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{2}} \right]\).

Giải thích

Đáp án đúng là: B

\(\cos 2x + \sqrt 3 \sin 2x + \sqrt 3 \sin x - \cos x = 2\)

\( \Leftrightarrow 2\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) + 2\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 2\)

\( \Leftrightarrow 2\left[ {1 - 2{{\sin }^2}\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)} \right] + 2\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 2\)

\( \Leftrightarrow - 4{\sin ^2}\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) + 2\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 0\\\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \frac{\pi }{6} = k\pi \\x - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{6} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \pi + k2\pi \end{array} \right.\).

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất cuả phương trình là x₀ = \(\frac{\pi }{6}\) với k = 1.