Gọi x,y là hai số thực thoả mãn e^x} + {e^y} = 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức T = 2x + y gần nhất với giá trị nào sau đây

49/235

Gọi $x,y$ là hai số thực thoả mãn ${e^x} + {e^y} = 1$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $T = 2x + y$ gần nhất với giá trị nào sau đây?

$ - 1,91$.

$ - 1,92$.

$ - 1,93$.

$ - 1,94$.

Giải thích

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Đưa từ phương trình hai ẩn về phương trình một ẩn.

Lời giải

Có $T = 2x + y \Leftrightarrow y = T - 2x$

Xét phương trình ${e^x} + {e^y} = 1 \Rightarrow {e^x} + {e^{T - 2x}} = 1 \Rightarrow {e^T} = {e^{2x}} - {e^{3x}}\left( 1 \right)$.

Xét $f\left( x \right) = {e^{2x}} - {e^{3x}}\left( {x \in \mathbb{R}} \right)$. Có $f'\left( x \right) = 2{e^{2x}} - 3{e^{3x}}$.

Cho $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2{e^{2x}} - 3{e^{3x}} = 0 \Leftrightarrow {e^x} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow x = {\rm{ln}}\frac{2}{3}$.

Khi đó, ta có bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$:

$Gọi x,y là hai số thực thoả mãn e^x} + {e^y} = 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức T = 2x + y gần nhất với giá trị nào sau đây (ảnh 1)$

Từ bảng biến thiên, ta thấy để phương trình (1) có nghiệm thì${e^T} \le \frac{4}{{27}} \Leftrightarrow T \le {\rm{ln}}\frac{4}{{27}} \approx - 1,91$.