Gọi x,y là hai số thực thỏa mãn {e^x} + {e^y} = 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức

Phương pháp giải:

Đưa phương trình hai ẩn về phương trình một ẩn.

Giải chi tiết:

Ta có:

                                             \[T = 2x + y \Leftrightarrow y = T - 2x.\]

Từ điều kiện:

  \[{e^x} + {e^y} = 1 \Leftrightarrow {e^x} + {e^{T - 2x}} = 1 \Leftrightarrow {e^T} = {e^{2x}} - {e^{3x}}.{\rm{ (}}1)\]

Xét hàm số:

                                  \[f(x) = {e^{2x}} - {e^{3x}},\quad x \in \mathbb{R}.\]

Ta có:

                                                   \[f'(x) = 2{e^{2x}} - 3{e^{3x}}.\]

Giải \(f'(x) = 0\):

    \[2{e^{2x}} - 3{e^{3x}} = 0 \Leftrightarrow {e^x} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow x = \ln \frac{2}{3}.\]

Khi đó:

        \[{f_{\max }} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} - {\left( {\frac{2}{3}} \right)^3} = \frac{4}{{27}}.\]

Để phương trình (1) có nghiệm thì:

     \[{e^T} \le \frac{4}{{27}} \Leftrightarrow T \le \ln \frac{4}{{27}} \approx - 1,91.\]

Đáp án đúng: A