Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích của khối tứ diện đều và khối lập phương có chung mặt cầu ngoại tiếp. Khi đó, V1/V2 bằng gì?

Giải chi tiết:

Bước 1: Gọi \(a\) là độ dài cạnh của tứ diện đều khi đó ta có:

\(R = \frac{{3a}}{{2\sqrt 6 }} \Leftrightarrow a = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}R\)

Gọi \(b\) là độ dài hình lập phương, ta có:

\(R = \frac{{\sqrt {{b^2} + {b^2} + {b^2}} }}{2} = \frac{{b\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow b = \frac{{2R}}{{\sqrt 3 }}\)

Bước 2: Tỉ số cạnh của tứ diện đều và lập phương có cùng mặt cầu ngoại tiếp

\(\frac{a}{b} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}:\frac{2}{{\sqrt 3 }} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 2 \)

Bước 3: Tính \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\)

Thể tích tứ diện đều cạnh \(a\) là \({V_1} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)

Thể tích khối lập phương cạnh \(b\) là: \({V_2} = {b^3}\)

Vậy tỉ lệ thể tích: \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^3} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{{12}} = 2\sqrt 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{{12}} = \frac{1}{3}\)

Đáp án cần chọn là: D