Gọi T là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình

Ta có \({x^3} - 3{x^2} - {m^3} + 3{m^2} = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} = {m^3} - 3{m^2} \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( m \right)\) (1).

Xét hàm số \[f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2};f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x\,,\,\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\].

\(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 3}\end{array}} \right.\); \(f\left( x \right) = - 4 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x = - 1}\end{array}} \right.\).

Ta có bảng biến thiến của hàm số như sau:

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra (1) có ba nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow - 4 < f(m) < 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1 < m < 3}\\{m \ne 0}\\{m \ne 2}\end{array}} \right..\)

Suy ra \(T = \left\{ 1 \right\}.\) Vậy tổng tất cả các phần tử của \(T\) bằng 1.

Đáp án cần nhập là: 1.