Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số

Đáp án đúng là "2025"

Phương pháp giải

Lời giải

Vì \(x \in \left[ {3;9} \right]\) nên bất phương trình luôn xác định

Đặt \(t = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}x \Rightarrow x = {3^t},x \in \left[ {3;9\left] { \Rightarrow t \in } \right[1,2} \right]\)

\( \Rightarrow {x^2} + {5^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}x}} \ge m{x^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}11}} \Leftrightarrow {3^{2t}} + {5^t} \ge m.{\left( {{3^t}} \right)^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}11}} \Leftrightarrow {9^t} + {5^t} \ge m{.11^t}\)

Chia cả hai vế của bất phương trình cho \({11^t}\) ta được: \({\left( {\frac{9}{{11}}} \right)^t} + {\left( {\frac{5}{{11}}} \right)^t} \ge m\)

Để bất phương trình nghiệm đúng

Xét hàm số: \(f\left( t \right) = {\left( {\frac{9}{{11}}} \right)^t} + {\left( {\frac{5}{{11}}} \right)^t} \Rightarrow f'\left( t \right) = {\left( {\frac{9}{{11}}} \right)^t}{\rm{ln}}\frac{9}{{11}} + {\left( {\frac{5}{{11}}} \right)^t}{\rm{ln}}\frac{5}{{11}} < 0\),\(\forall t\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( t \right)\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)

Bảng biến thiên:

​

Dựa vào bảng biến thiên \( \Rightarrow m \le \frac{{106}}{{121}}\)

Mà \(m\) nguyên và \(m \in \left( { - 2025;2025} \right) \Rightarrow S = \left\{ { - 2024; - 2023; \ldots , - 1;0} \right\}\)