Gọi S là tổng các nghiệm phương trình 3.4^x+(3x-10).2^x+3-x=0

Phương trình đã cho tương đương

\({3.4^x} + \left( {3x - 10} \right){.2^x} + 3 - x = 0 \Leftrightarrow {3.4^x} - {2^x} + \left( {3x - 9} \right){.2^x} + 3 - x = 0\)

\( \Leftrightarrow {2^x}\left( {{{3.2}^x} - 1} \right) + \left( {x - 3} \right)\left( {{{3.2}^x} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{{3.2}^x} - 1} \right)\left( {{2^x} + x - 3} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^x} = \frac{1}{3}}\\{{2^x} = 3 - x}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {\frac{1}{3}} \right)}\\{{2^x} = 3 - x\left( {\rm{*}} \right)}\end{array}} \right.} \right.\).

Xét phương trình \(\left( {\rm{*}} \right)\):

Đặt \({2^x} = g\left( x \right) \Leftrightarrow g'\left( x \right) = {2^x}{\rm{.ln}}\left( 2 \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) suy ra, \(g\left( x \right)\) là hàm đồng biến trên \(\mathbb{R}\). (1)

Đặt \(h\left( x \right) = 3 - x \Leftrightarrow h'\left( x \right) =  - 1 < 0,\forall x \in \mathbb{R}\) suy ra, \(h\left( x \right)\) là hàm nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). (2).

Từ (1) và (2), suy ra đồ thị hàm số \(g\left( x \right)\) và \(h\left( x \right)\) cắt nhau tại 1 điểm có hoành độ \(x = 1\).

Khi đó \(S = 1 + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {\frac{1}{3}} \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {\frac{2}{3}} \right)\).