Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z sao cho số phức w=(z+3i-1)/(z+3+i) là số thuần ảo. Xét các số phức z1, z2 thuộc S thỏa mãn |z1 - z2| = 2,

Đáp án đúng là: C

Ta có: z=x+yi  x,y∈ℝ.

w=z+3i−1z+3+i=(x−1)+(y+3)i(x+3)+(y+1)i=(x−1)+(y+3)i(x+3)−(y+1)i(x+3)+(y+1)i(x+3)−(y+1)i

⇒w=x−1x+3+y+3y+1+x+3y+3−x−1y+1ix+32+y+12

w là số thuần ảo ⇔ (x−1)(x+3)+(y+3)(y+1)=0⇔ x2+y2+2x+4y=0.

Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của z1, z2 ta có

M,N∈C: x2+y2+2x+4y=0

(C) có tâm I(-1;-2), bán kính R=5.

Các số phức z1, z2∈S thỏa mãn

z1−z2=2⇔xN−xM2+yN−yM2=2⇔MN=2

Gọi A(0;3) nên ta có IA=0+12+3+22=26.

Xét P=z1−3i2−z2−3i2=AM2−AN2

=AM→2−AN→2=AI→+IM→2−AI→+IN→2

=IA2+IM2+2AI→.IM→−IA2−IN2−2AI→.IN→=2AI→IM→−IN→

=2AI→.NM→=2.IA.MN.cosAI→,NM→≤2.IA.MN=2.26.2=226

(Do M,N∈C⇒IM=IN).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai vectơ AI→ ,NM→ cùng hướng.

Vậy giá trị lớn nhất của P=z1−3i2−z2−3i2 bằng 226.