Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số y=x^3-3x^2 tại ba điểm phân biệt

 

Giải chi tiết:

Xét hàm số y=x3−3x2 ta có y'=3x2−6x=0⇔[x=0x=2.

Ta có BBT:

Dựa vào BBT, để đường thẳng y=m cắt đồ thị y=x3−3x2 tại 3 điểm phân biệt thì −4<m<0.

Xét phương trình hoành độ giao điểm: x3−3x2=m⇔x3−3x2−m=0(*).

Khi đó gọi A(a;m);B(b;m);C(c;m)(a<b<c) là giao điểm của đồ thị hàm số y=x3−3x2 và đường thẳng y=m thì ta có {AB=b−aBC=c−a.

Theo bài ra ta có: AB=2BC⇔b−a=2(c−b)⇔a−3b+2c=0.

Lại có a,b,c là 3 nghiệm phân biệt của phương trình (*) nên áp dụng định lí Vi-ét ta có: {a+b+c=3abc=mab+bc+ca=0.

Giải hệ {a−3b+2c=0a+b+c=3ab+bc+ca=0⇔[(a;b;c)=(1−57;1+17;1+47)(a;b;c)=(1+57;1−17;1−47)⇒[m=−98+20749m=−98−20749⇒∑m=−4

Đáp án D.