Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của a thuộc [ pi ; 10 pi ] sao cho a ∫ 0 cos x dx = 1/2 . Số phần tử của S là bao nhiêu?

18/22

Gọi \[S\] là tập hợp tất cả các giá trị của \[a\] thuộc \[\left[ {\pi ;10\pi } \right]\] sao cho \[\int\limits_0^a {\cos xdx} = \frac{1}{2}\]. Số phần tử của \[S\] là bao nhiêu?

Giải thích

Trả lời: 8

Ta có \[\int\limits_0^a {\cos xdx} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left. {\sin x} \right|_0^a = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin a = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\a = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\]

Với \[a = \frac{\pi }{6} + k2\pi \]suy ra \[\pi \le a \le 10\pi \Leftrightarrow \pi \le \frac{\pi }{6} + k2\pi \le 10\pi \Leftrightarrow \frac{5}{{12}} \le k \le \frac{{59}}{{12}} \Rightarrow k \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\];

Với \[a = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \]suy ra \[\pi \le a \le 10\pi \Leftrightarrow \pi \le \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \le 10\pi \Leftrightarrow \frac{1}{{12}} \le k \le \frac{{55}}{{12}} \Rightarrow k \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\];

Vậy có 8 giá trị của \[a\] thuộc \[\left[ {\pi ;10\pi } \right]\] thoả mãn yêu cầu bài toán.