Gọi S là tập hợp các số nguyên x thỏa mãn

65/235

Gọi \(S\) là tập hợp các số nguyên \(x\) thỏa mãn \(4y{x^6} + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {y{x^6}} \right) - 2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x + 1 \ge {2^{{\rm{log}}_2^2\left( {2x} \right)}} + {\rm{log}}_2^2x\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(y\) để tập hợp \(S\) có nhiều nhất 32 phần tử?

19.

21.

24.

25.

Giải thích

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Xét hàm đặc trưng

Lời giải

Điều kiện: \(x > 0\) và \(y > 0\).

Bất phương trình tương đương với:

\(4y{x^6} + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {y{x^6}} \right) + 1 \ge {2^{{\rm{log}}_2^2\left( {2x} \right)}} + {\rm{log}}_2^2x + 2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x\)

\( \Leftrightarrow 4y{x^6} + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {y{x^6}} \right) + 2 \ge {2^{{\rm{log}}_2^2\left( {2x} \right)}} + \left( {{\rm{log}}_2^2x + 2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow 4y{x^6} + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {4y{x^6}} \right) \ge {2^{{\rm{log}}_2^2\left( {2x} \right)}} + {\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x + 1} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow 4y{x^6} + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {4y{x^6}} \right) \ge {2^{{\rm{log}}_2^2\left( {2x} \right)}} + {\rm{log}}_2^2\left( {2x} \right) \Leftrightarrow f\left( {4y{x^6}} \right) \ge f\left( {{2^{{\rm{log}}_2^22x}}} \right)\) (1).

Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = t + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}t,t > 0\).

Ta có \(f'\left( t \right) = 1 + \frac{1}{{t{\rm{ln}}2}} > 0\) với \(t > 0\) nên hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = t + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}t,t > 0\).

Ta có \(f'\left( t \right) = 1 + \frac{1}{{t{\rm{ln}}2}} > 0\) với \(t > 0\) nên hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Khi đó ta được:

(1) \( \Leftrightarrow 4y{x^6} \ge {2^{{\rm{log}}_2^22x}} \Leftrightarrow 2 + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}y + 6{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x \ge {\rm{log}}_2^22x\)

\( \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}y \ge {\rm{log}}_2^2x - 4{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x - 1 = g\left( x \right)\).

Ta có \(g'\left( x \right) = \frac{2}{{x{\rm{ln}}2}}{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x - \frac{4}{{x{\rm{ln}}2}} = \frac{2}{{x{\rm{ln}}2}}\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x - 2} \right)\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x = 2 \Leftrightarrow x = 4\).

Gọi S là tập hợp các số nguyên x thỏa mãn (ảnh 1)

Để tập \(S\) có nhiều nhất 32 phần tử thì \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}y < g\left( {33} \right) \Leftrightarrow 0 < y < {2^{g\left( {33} \right)}} \Rightarrow 0 < y \le 19\).

Vậy có 19 giá trị nguyên của \(y\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.