Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình log 5 ( x^2 + 1 ) + 1 ≥ log 5 ( m x^2 + 4 x + m ) nghiệm đúng với mọi x ∈ R . Tính tổng các phần tử của S .

Bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m{x^2} + 4x + m > 0\\5\left( {{x^2} + 1} \right) \ge m{x^2} + 4x + m\end{array} \right.,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)(dễ thấy \(m = 0\)không thỏa mãn hệ)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\{\Delta _{\left( 1 \right)}} = 16 - 4{m^2} < 0\\5 - m > 0\\{\Delta _{\left( 2 \right)}} = 16 - 4{\left( {5 - m} \right)^2} \le 0\end{array} \right.\)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\left[ \begin{array}{l}m <  - 2\\m > 2\end{array} \right.\\m < 5\\\left[ \begin{array}{l}m \le 3\\m \ge 7\end{array} \right.\end{array} \right.\]\( \Leftrightarrow 2 < m \le 3\).

Do \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m = 3\). Vậy tổng các phần tử của \(S\) là \(3.\)