Gọi S là tập hợp các giá trị m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = (mx^2 + x − 3)/( x − 1) tạo với hai trục hệ tọa độ Oxy một tam giác có diện tích bằng 2
Với \(m = 0\) ta có \(y = \frac{{x - 3}}{{x - 1}}\). Khi đó đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên.
Với \(m = 2\) ta có \(y = \frac{{2{x^2} + x - 3}}{{x - 1}} = 2x + 3\). Khi đó đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên.
Với \(m \ne 0;m \ne 2\) ta có \(y = mx + m + 1 + \frac{{m - 2}}{{x - 1}}\).
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {y - mx - m - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{m - 2}}{{x - 1}} = 0\] nên đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là \(y = mx + m + 1\). Giao điểm của tiệm cận xiên với trục \(Ox\) là \(\left( {\frac{{ - m - 1}}{m};0} \right)\)
Giao điểm của tiệm cận xiên với trục \(Oy\) là \(\left( {0;m + 1} \right)\).
Đường tiệm cận xiên tạo thành một tam giác thì diện tích của tam giác:
\(S = \frac{1}{2}.\left| {m + 1} \right|.\left| {\frac{{ - m - 1}}{m}} \right| = 2 \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} = 4\left| m \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} + 2m + 1 = 4m;\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,m \ge 0\\{m^2} + 2m + 1 = - 4m;\,\,\,khi\,\,m < 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} - 2m + 1 = 0;\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,m \ge 0\\{m^2} + 6m + 1 = 0;\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{1}{2}\\m = - 3 + 2\sqrt 2 \\m = - 3 - 2\sqrt 2 \end{array} \right.\).
Vậy tổng giá trị của \(S\) bằng \(\frac{{ - 11}}{2} = - 5,5\).
Trả lời: −5,5.