Gọi S là tập hợp các giá trị dương của tham số m để hàm số y = 1/3 x^3 − mx^2 + ( m + 12 ) x − m đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa mãn | x1 − x2 | ≤ 4 √ 11 .

28/50

Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị dương của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {m + 12} \right)x - m\) đạt cực trị tại \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| \le 4\sqrt {11} \). Tính số phần tử của \(S\) (nhập đáp án vào ô trống).

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

\(y = \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {m + 12} \right)x - m\).

\(y' = {x^2} - 2mx + m + 12\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + m + 12 = 0\).

Hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {m + 12} \right)x - m\) đạt cực trị tại hai điểm \({x_1},{x_2}\) khi phương trình

\({x^2} - 2mx + m + 12 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\)

\( \Leftrightarrow {\rm{\Delta '}} > 0 \Leftrightarrow {m^2} - \left( {m + 12} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 4\\m < - 3\end{array} \right.\).

Theo định lí Vi - et, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{2m}}{1} = 2m}\\{{x_1}{x_2} = \frac{{m + 12}}{1} = m + 12}\end{array}} \right.\).

Ta có

\(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| \le 4\sqrt {11} \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} \le 176 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} \le 176 \Leftrightarrow {\left( {2m} \right)^2} - 4 \cdot \left( {m + 12} \right) \le 176\)

\( \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m - 224 \le 0 \Leftrightarrow - 7 \le m \le 8\).

Mà \(\left[ \begin{array}{l}m > 4\\m < - 3\end{array} \right.\) và \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(S = \left\{ { - 7; - 6; - 5; - 4;5;6;7;8} \right\}\). Vậy số phần tử của \(S\) là 8.

Đáp án cần nhập là: \(8\).