Gọi S là tập hợp các giá trị của m sao cho hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho thẳng hàng với điểm

 

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Khảo sát hàm số đã cho.

Lời giải

\(f\left( x \right) = {x^3} + 6\left( {m + 2} \right){x^2} - \left( {3m + 9} \right)x - 8\)

\(f\left( x \right) = \left[ {\frac{x}{3} + \frac{{2\left( {m + 2} \right)}}{3}} \right].\left( {3{x^2} + 12\left( {m + 2} \right)x - \left( {3m + 9} \right)} \right) - \left( {8{m^2} + 34m + 38} \right)\left( {2{m^2} + 10m + 4} \right)\)

\(f\left( x \right) = \left[ {\frac{x}{3} + \frac{{2\left( {m + 2} \right)}}{3}} \right].f'\left( x \right) - \left( {8{m^2} + 34m + 38} \right)x + \left( {2{m^2} + 10m + 4} \right)\)

Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai điểm cực trị của hàm số \(f\left( x \right) \Leftrightarrow f'\left( {{x_1}} \right) = f'\left( {{x_2}} \right) = 0\). Khi đó, ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( {{x_1}} \right) = - \left( {8{m^2} + 34m + 38} \right){x_1} + \left( {2{m^2} + 10m + 4} \right)}\\{f\left( {{x_2}} \right) = - \left( {8{m^2} + 34m + 38} \right){x_2} + \left( {2{m^2} + 10m + 4} \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

\(y = - \left( {8{m^2} + 34m + 38} \right)x + \left( {2{m^2} + 10m + 4} \right){\rm{\;}}\left( d \right)\).

Khi đó, để hai điểm cực trị của hàm số thẳng hàng với điểm \(A\left( {\frac{1}{2}; - 9} \right)\) thì \(A \in d\), tức là:

\( - 9 = - \frac{{8{m^2} + 34m + 38}}{2} + 2{m^2} + 10m + 4\)

\( \Leftrightarrow - 2{m^2} - 7m - 6 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = \frac{{ - 3}}{2}}\\{m = - 2}\end{array}} \right.\)

Như vậy, tích các phần tử trong tập \(S\) là \(\frac{{ - 3}}{2}.\left( { - 2} \right) = 3\)