Gọi S là phần hình phẳng màu xanh được tạo bởi hai đồ thị hàm số y = {sin}}x + 1

Đáp án đúng là "6"

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay.

Lời giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đồ thị hàm số:

\({\rm{sin}}x + 1 = {\rm{cos}}x + 1 \Leftrightarrow {\rm{sin}}x - {\rm{cos}}x = 0 \Leftrightarrow \sqrt 2 {\rm{sin}}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Khi đó, phần hình phẳng màu xanh được giới hạn bởi \(x = \frac{\pi }{4}\) và \(x = \frac{{5\pi }}{4}\).

Khi \(x \in \left[ {\frac{\pi }{4};\frac{{5\pi }}{4}} \right]\), ta có \({\rm{sin}}x + 1 \ge {\rm{cos}}x + 1 \ge 0\). Thể tích của vật thể tròn xoay khi đó bằng:

\(V = \pi \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{5\pi }}{4}} {\left| {{{(\sin x + 1)}^2} - {{(\cos x + 1)}^2}} \right|} dx = \pi \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{5\pi }}{4}} {\left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x + 2\sin x - 2\cos x} \right)dx} \)

\(V = \pi .\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{5\pi }}{4}} {( - \cos 2x + 2\sin x - 2\cos x)} dx = \pi .\left. {\left( {\frac{{ - \sin 2x}}{2} - 2\cos x - 2\sin x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{5\pi }}{4}} = 4\pi \sqrt 2 \)

Khi đó, \(a = 4,b = 2,c = 0 \Rightarrow P = a + b + c = 6\).