Gọi S là phần hình phẳng được tạo bởi hai đồ thị: y = sin x + 1 và y = cos x + 1.
105/235
Gọi \(S\) là phần hình phẳng được tạo bởi hai đồ thị: \[y = \sin x + 1\] và \[y = \cos x + 1.\]
Biết thể tích của vật thể tạo thành khi quay \(S\) quanh trục Ox là: \[V = a\sqrt b \pi + c{\pi ^2},\] trong đó \(a,b,c \in \mathbb{N}\), \(b\) là số nguyên tố. Tính: \[P = a + b + c.\]
Đáp án: __
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay.
Giải chi tiết:
Tìm giao điểm hai đồ thị:
\[\sin x + 1 = \cos x + 1 \Leftrightarrow \sin x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = 0.\]
Suy ra:
\[x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,\quad k \in \mathbb{Z}.\]
Phần hình phẳng cần xét nằm trong khoảng:
\[\left[ {\frac{\pi }{4},\frac{{5\pi }}{4}} \right].\]
Trên khoảng này:
\[\sin x + 1 \ge \cos x + 1 \ge 0.\]
Thể tích khối tròn xoay:
\[V = \pi \int_{\pi /4}^{5\pi /4} {\left[ {{{(\sin x + 1)}^2} - {{(\cos x + 1)}^2}} \right]} {\mkern 1mu} dx.\]
Rút gọn:
\[V = \pi \int_{\pi /4}^{5\pi /4} {\left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x + 2\sin x - 2\cos x} \right)} {\mkern 1mu} dx.\]
Ta có:
\[{\sin ^2}x - {\cos ^2}x = - \cos 2x.\]
Suy ra:
\[V = \pi \int_{\pi /4}^{5\pi /4} {\left( { - \cos 2x + 2\sin x - 2\cos x} \right)} {\mkern 1mu} dx.\]
Nguyên hàm:
\[ - \frac{{\sin 2x}}{2} - 2\cos x - 2\sin x.\]
Thay cận:
\[V = 4\pi \sqrt 2 .\]
Suy ra:
\[a = 4,\quad b = 2,\quad c = 0.\]
Do đó:
\[P = a + b + c = 6.\]