Gọi \(S\) là diện tích mặt phẳng giới hạn bởi parabol \(y = {x^2} + 2x - 3\) và đường thẳng

Ta có \({x^2} + 2x - 3 = kx + 1 \Leftrightarrow {x^2} - \left( {k - 2} \right)x - 4 = 0\)

Do \(ac =  - 4 < 0\) PT trên luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = k - 2}\\{{x_1}.{x_2} =  - 4}\end{array}} \right.\)

Giả sử \({x_1} < {x_2} \Rightarrow S = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {{x^2} - \left( {k - 2} \right)x - 4} \right)dx} } \right| = \left| {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{k - 2}}{2}{x^2} - 4x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_2}}\\{{x_1}}\end{array}} \right.} \right|\)

\( = \left| {\frac{1}{3}\left( {x_2^3 - x_1^3} \right) - \frac{{k - 2}}{2}\left( {x_2^2 - x_1^2} \right) - 4\left( {{x_2} - {x_1}} \right)} \right| = \left| {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left| {\frac{1}{3}\left[ {x_1^2 + x_2^2 + {x_1}.{x_2}} \right]} \right| - \frac{{k - 2}}{2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 4} \right|\)

\( = \sqrt {{{\left( {{x_2} + {x_1}} \right)}^2} - 4{x_1}.{x_2}} \left| {\frac{1}{3}\left[ {{{\left( {{x_2} + {x_1}} \right)}^2} - {x_1}.{x_2}} \right] - \frac{{k - 2}}{2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 4} \right| = \sqrt {{{\left( {k - 2} \right)}^2} + 16} \left| {\frac{{{{\left( {k - 2} \right)}^2}}}{6} + \frac{8}{3}} \right|\)

Vậy S nhỏ nhất khi \(k = 2\).