Gọi S = 1 + 11 + 111 + . . . + 111...1 (n số 1) thì S nhận giá trị nào sau đây?

14/19

Gọi \[{\rm{S = }}1 + 11 + 111 + ... + 111...1\](n số 1) thì S nhận giá trị nào sau đây?

\[\frac{{{{10}^{\rm{n}}} - 1}}{{81}}\]

\[10\left( {\frac{{{{10}^{\rm{n}}} - 1}}{{81}}} \right)\]

\[\left[ {10\left( {\frac{{{{10}^{\rm{n}}} - 1}}{{81}}} \right) - {\rm{n}}} \right]\]

\[\frac{1}{9}\left[ {10\left( {\frac{{{{10}^{\rm{n}}} - 1}}{9}} \right) - {\rm{n}}} \right]\]

Giải thích

Ta có:

\[{\rm{S = }}1 + 11 + 111 + ... + 111...1\]

\[{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{9}}}\left[ {\left( {{\rm{10}} - {\rm{1}}} \right){\rm{ + }}\left( {{\rm{1}}{{\rm{0}}^{\rm{2}}} - {\rm{1}}} \right){\rm{ + }}...{\rm{ + }}\left( {{\rm{1}}{{\rm{0}}^{\rm{n}}} - {\rm{1}}} \right)} \right]\]

\[{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{9}}}\left( {{\rm{10 + 1}}{{\rm{0}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + 1}}{{\rm{0}}^{\rm{n}}} - {\rm{n}}} \right)\]

\[{\rm{ = }}\frac{1}{9}.\left[ {10.\frac{{1 - {{10}^{\rm{n}}}}}{{1 - 10}} - {\rm{n}}} \right]\]

Đáp án cần chọn là: D