Gọi (Q) là mặt phẳng song song với (P) đồng thời đường thẳng AB cắt (Q) tại C sao cho CA = 2CB. Mặt phẳng (Q) có phương trình là

20/35

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \[A\left( {0;1;1} \right)\], \(B\left( {1;0;0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 3 = 0\). Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng song song với \(\left( P \right)\) đồng thời đường thẳng \(AB\) cắt \(\left( Q \right)\) tại \(C\) sao cho \(CA = 2CB\). Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có phương trình là

\(\left( Q \right):x + y + z - \frac{4}{3} = 0\).

\(\left( Q \right):x + y + z = 0\).

\(\left( Q \right):x + y + z - \frac{4}{3} = 0\) hoặc \(\left( Q \right):x + y + z = 0\).

\(\left( Q \right):x + y + z = 0\) hoặc \(\left( Q \right):x + y + z - 2 = 0\).

Giải thích

Lời giải

Gọi \[C\left( {{c_1};{c_2};{c_3}} \right)\]. Vì \(\left( Q \right)\) // \(\left( P \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right):x + y + z + d = 0\) \(\left( {d \ne - 3} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {CA} = \left( { - {c_1};1 - {c_2};1 - {c_3}} \right)\) và \(\overrightarrow {CB} = \left( {1 - {c_1}; - {c_2}; - {c_3}} \right)\).

Trường hợp 1: \(\overrightarrow {CA} = 2\overrightarrow {CB} \)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{ - {c_1} = 2\left( {1 - {c_1}} \right)}\\{1 - {c_2} = - 2{c_2}}\end{array}}\\{1 - {c_3} = - 2{c_3}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{{c_1} = 2}\\{{c_2} = - 1}\end{array}}\\{{c_3} = - 1}\end{array}} \right.} \right.\)\( \Rightarrow C\left( {2; - 1; - 1} \right)\).

Vì \(C \in \left( Q \right)\) nên \(2 - 1 - 1 + d = 0 \Leftrightarrow d = 0\). Khi đó, phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right):x + y + z = 0\).

Trường hợp 2: \(\overrightarrow {CA} = - 2\overrightarrow {CB} \)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{ - {c_1} = - 2\left( {1 - {c_1}} \right)}\\{1 - {c_2} = 2{c_2}}\end{array}}\\{1 - {c_3} = 2{c_3}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{{c_1} = \frac{2}{3}}\\{{c_2} = \frac{1}{3}}\end{array}}\\{{c_3} = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow C\left( {\frac{2}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}} \right)\).

Vì \[C \in \left( Q \right)\] nên \(d = - \frac{4}{3}\). Phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right):x + y + z - \frac{4}{3} = 0\).

Vậy \(\left( Q \right):x + y + z - \frac{4}{3} = 0\) hoặc \(\left( Q \right):x + y + z = 0\). Chọn C.