Gọi \(\overline {ab} \) l
19/42
Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\)có cạnh đáy bằng \(2a\), góc giữa hai đường thẳng \(AB'\)và \(B C'\)bằng \(60^\circ \). Tính thể tích \(V\) của khối lăng trụ đó.
\(V = 2\sqrt 6 {a^3}\).
\(V = \frac{{2\sqrt 6 {a^3}}}{3}\).
\(V = 2\sqrt 3 {a^3}\).
\(V = \frac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}\).
Gọi \(N\) là giao điểm của \(A'B\) và \(AB'\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \[A'C'\] thì \(MN\) là trung bình tam giác \[A'BC' \Rightarrow MN{\rm{//}}\,BC'\].
Khi đó góc giữa \(AB'\) và \(BC'\) là góc giữa \(B'N\) và \(MN\) . Suy ra \(\widehat {B'NM} = 60^\circ \) (1).
Đặt: \[AA' = x\]. Khi đó:
\[B'N = \frac{1}{2}AB' = \frac{1}{2}\sqrt {A{{A'}^2} + A'{{B'}^2}} = \frac{1}{2}\sqrt {{x^2} + 4{a^2}} \].
\[MN = \frac{1}{2}BC' = \frac{1}{2}\sqrt {C{{C'}^2} + B{C^2}} = \frac{1}{2}\sqrt {{x^2} + 4{a^2}} \].
Do đó : \(BN = MN \Rightarrow \Delta B'MN\) cân tại \(N\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta B'MN\) đều. Suy ra: \(MN = B'N = B'M = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).
Do đó : \[MN = \frac{1}{2}\sqrt {{x^2} + 4{a^2}} = a\sqrt 3 \Leftrightarrow x = 2a\sqrt 2 \].
Vậy thể tích khối lăng trụ là : \[V = AA' \cdot {S_{\Delta ABC}} = 2a\sqrt 2 \cdot \frac{{4{a^2}\sqrt 3 }}{4} = 2{a^3}\sqrt 6 \]. Chọn A.