Gọi M(xM;yM) là một điểm thuộc (C): y=x^3-3x^2+2 , biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm (khác M). Tìm giá trị nhỏ nhất .

Tập xác định D=ℝ.

Ta có y=x3−3x2+2⇒y'=3x2−6x .

Gọi  MxM;yM là một điểm thuộc C:y=x3−3x2+2, suy ra tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình là y=3xM2−6xMx−xM+xM3−3xM2+2.

Tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm NxN;yN (khác M) nên xM,  xN là nghiệm của phương trình:

x3−3x2+2=3xM2−6xMx−xM+xM3−3xM2+2.

⇔x3−xM3−3x2−xM2−3xM2−6xMx−xM=0

⇔x−xM2x+2xM−3=0

⇔x=xMx=−2xM+3

⇒xN=−2xM+3

Khi đó P=5xM2+xN2=5xM2+−2xM+32=9xM2−12xM+9≥9xM−232+5

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 khi xM=23.