Gọi M là trung điểm của B'C', biết khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (B'AC) bằng 3a căn bâc hai (15/10). Thể tích V của khối lăng trụ đã cho là

18/35

Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác \(ABC\) có \(\widehat {BAC} = 60^\circ ,\,\,AB = 3a\) và \(AC = 4a.\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(B'C',\) biết khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {B'AC} \right)\) bằng \(\frac{{3a\sqrt {15} }}{{10}}.\) Thể tích \(V\) của khối lăng trụ đã cho là

\(V = 27{a^3}.\)

\(V = 9{a^3}.\)

\(V = {a^3}.\)

\(V = 4{a^3}.\)

Giải thích

Lời giải

Gọi M là trung điểm của B'C', biết khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (B'AC) bằng 3a căn bâc hai (15/10). Thể tích V của khối lăng trụ đã cho là (ảnh 1)

Ta có \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin \widehat {BAC} = 3{a^2}\sqrt 3 .\)

Dựng \(BE \bot AC,\,\,BF \bot B'E.\) Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BB'\\AC \bot BE\end{array} \right..\) Suy ra \(AC \bot BF \Rightarrow BF \bot \left( {B'AC} \right).\)

Do vậy \(d\left( {B,\left( {B'AC} \right)} \right) = BF\); \(BE = AB \cdot \sin \widehat {BAC} = \frac{{3a\sqrt 3 }}{2}\).

Mặt khác \(d\left( {M,\,\left( {B'AC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {C',\,\left( {B'AC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {B,\left( {B'AC} \right)} \right) = \frac{1}{2}BF = \frac{{3a\sqrt {15} }}{{10}} \Rightarrow BF = \frac{{3a\sqrt {15} }}{5}.\)

Hơn nữa \(\frac{1}{{B{F^2}}} = \frac{1}{{B{{B'}^2}}} + \frac{1}{{B{E^2}}} \Rightarrow BB' = 3a\sqrt 3 \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = BB' \cdot {S_{\Delta ABC}} = 27{a^3}.\) Chọn A.