Gọi M và n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x^3 − 3x^2 − 9x + 35 trên đoạn [−4; 4]. Tính 2M + 3n.

Đạo hàm: \(y' = 3{x^2} - 6x - 9\).

Giải phương trình đạo hàm bằng 0: \(3\left( {{x^2} - 2x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) hoặc \(x = 3\) (cả hai giá trị này đều thuộc đoạn \(\left[ { - 4;4} \right]\)).

Tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm tới hạn:

\(y\left( { - 4} \right) = {\left( { - 4} \right)^3} - 3 \cdot {\left( { - 4} \right)^2} - 9 \cdot \left( { - 4} \right) + 35 = - 41\);

\(y\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} - 3 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} - 9 \cdot \left( { - 1} \right) + 35 = 40\);

\(y\left( 3 \right) = {3^3} - 3 \cdot {3^2} - 9 \cdot 3 + 35 = 8\);

\(y\left( 4 \right) = {4^3} - 3 \cdot {4^2} - 9 \cdot 4 + 35 = 15\).

Từ các kết quả trên, ta xác định được:

Giá trị lớn nhất trên đoạn là \(M = 40\) (đạt tại \(x = - 1\)).

Giá trị nhỏ nhất trên đoạn là \(n = - 41\) (đạt tại \(x = - 4\)).

Giá trị biểu thức yêu cầu: \[2M + 3n = 2 \cdot 40 + 3 \cdot \left( { - 41} \right) = 80 - 123 = - 43\].

Đáp số: -43.