Gọi \(m,M\) lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

Ta có \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}x - \sqrt {x + 1} \)\( \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }} = \frac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{{2\sqrt {x + 1} }}\).

Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} = 1 \Leftrightarrow x = 0\).

Ta có \(f\left( 0 \right) = - 1;f\left( 3 \right) = - \frac{1}{2}\) và hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\).

Vậy \(M = - \frac{1}{2};m = - 1\)\( \Rightarrow S = 2M - m = 2\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right) + 1 = 0\).