Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2cosx + 3 trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{6}} \right]\). Biết M + m = a + b\(\sqrt 3 \), (a; b ∈ ℕ). Tính a + b?
Giải thích
Đáp án: 9.
Ta có: \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} \le \cos x \le 1 \Leftrightarrow \sqrt 3 \le 2\cos x \le 2 \Leftrightarrow \sqrt 3 + 3 \le 2\cos x + 3 \le 5\)
Suy ra \(\mathop {\max y}\limits_{\left[ {0;\frac{\pi }{6}} \right]} = 5\) đạt được khi cosx = 1 ⇔ x = 0 ∈ \(\left[ {0;\frac{\pi }{6}} \right]\).
\(\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;\frac{\pi }{6}} \right]} = \sqrt 3 + 3\) đạt được khi cosx = \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} \in \left[ {0;\frac{\pi }{6}} \right]\).
Vậy m = \(\sqrt 3 + 3\); M = 5 => M + m = 5 + \(\sqrt 3 + 3\)= 8 + \(\sqrt 3 \).
Do đó, a = 8, b = 1 => a + b = 8 + 1 = 9.