Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = 4 cos 2x + √ 2 sin ( 2x − pi.4 ) . Tính giá trị biểu thức T = M^2 + m^2 .

69/94

Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = 4{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x + \sqrt 2 {\rm{sin}}\left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right)\). Tính giá trị biểu thức \(T = {M^2} + {m^2}\).

Giải thích

Phương pháp giải

Dùng công thức biến đổi lượng giác đưa về sin và tìm GTLN, GTNN.

Giải chi tiết

Tập xác định: \(D = R\).
Ta có \(f\left( x \right) = 4{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x + \sqrt 2 {\rm{sin}}\left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = 2 + 2{\rm{cos}}2x + {\rm{sin}}2x - {\rm{cos}}2x\)
\( = {\rm{sin}}2x + {\rm{cos}}2x + 2 = \sqrt 2 {\rm{sin}}\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + 2\).
\( - \sqrt 2 \le \sqrt 2 {\rm{sin}}\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \Leftrightarrow - \sqrt 2 + 2 \le \sqrt 2 {\rm{sin}}\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + 2 \le \sqrt 2 + 2\)\( \Leftrightarrow - \sqrt 2 + 2 \le f\left( x \right) \le \sqrt 2 + 2\).
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) bằng \(\sqrt 2 + 2\) khi \({\rm{sin}}\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{8} + k\pi \).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) bằng \( - \sqrt 2 + 2\) khi \({\rm{sin}}\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \).
\({M^2} + {m^2} = {(2 + \sqrt 2 )^2} + {(2 - \sqrt 2 )^2} = 12\).

Đáp án cần chọn là: C