Gọi M là trung điểm của cạnh SD. Khi đó, côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMC) và (ABCD) bằng

28/35

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\sqrt 2 \). Biết \(SA = a\sqrt 2 \) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(SD.\) Khi đó, côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {AMC} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng

\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

\(1\).

\(\sqrt 3 \).

\(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Giải thích

Lời giải

Gọi M là trung điểm của cạnh SD. Khi đó, côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMC) và (ABCD) bằng (ảnh 1)

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {AMC} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\).

\(ABCD\) là hình vuông \( \Rightarrow AC = AB\sqrt 2 = 2a\).

Tam giác \(SAD\) vuông cân tại \(A \Rightarrow SD = SA\sqrt 2 = 2a,\;AM = \frac{{SD}}{2} = a\).

\(MC = \sqrt {M{D^2} + D{C^2}} = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}} = a\sqrt 3 \).

Ta có: \(A{M^2} + M{C^2} = A{C^2} \Rightarrow \) tam giác \(MAC\) vuông tại \(M\) Þ \({S_{MAC}} = \frac{1}{2} \cdot MA \cdot MC = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

Gọi \(H\) là trung điểm của cạnh \(AD\) suy ra \({S_{HAC}} = \frac{1}{2} \cdot {S_{ADC}} = \frac{{{a^2}}}{2}\) và \(MH{\rm{//}}SA\).

Nên \(MH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \Delta HAC\) là hình chiếu vuông góc của \(\Delta MAC\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

Khi đó: \({S_{HAC}} = {S_{MAC}} \cdot \cos \alpha \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} \cdot \cos \alpha \Leftrightarrow \cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\). Chọn D.