Gọi M là trung điểm của AH và BM cắt ( O ) tại N . Chứng minh D , H , N thẳng hàng.

14/15

c) Gọi $M$ là trung điểm của $AH$ và $BM$ cắt $\left( O \right)$ tại $N$. Chứng minh $D,\,H\,,N$ thẳng hàng.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$c) Gọi $M$ là trung điểm của $AH$ và $BM$ cắt $\left( O \right)$ tại $N$. Chứng minh $D,\,H\,,N$ thẳng hàng. (ảnh 1)$

c) Vì $AO$ là đường trung trực của $BC$ và $AO$ cắt $BC$ tại $H$ nên $H$ là trung điểm của $BC.$ Suy ra $BC = 2BH.$

Vì ΔDBC∽ΔBAH (câu b) nên \[\frac{{BC}}{{AH}} = \frac{{DC}}{{BH}}\]

Mà $AH = 2MH$ (do $M$ là trung điểm của $AH)$ và $BC = 2BH$, suy ra \[\frac{{2BH}}{{2MH}} = \frac{{DC}}{{BH}} = \frac{{BH}}{{MH}}\].

Lại có $BH = HC$ nên $\frac{{MH}}{{HC}} = \frac{{BH}}{{DC}}$.

Xét $\Delta BMH$ và $\Delta DHC$ có: $\widehat {MHB} = \widehat {HCD} = 90^\circ $ và $\frac{{MH}}{{HC}} = \frac{{BH}}{{DC}}$

Do đó ΔBMH∽ΔDHC (g.g), suy ra $\widehat {MBH} = \widehat {HDC}$ (1)

Lại có $\widehat {MBH} = \widehat {NBC} = \widehat {NDC}$ (2) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[NC\] của đường tròn $\left( O \right)$)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {NDC} = \widehat {HDC}$, nên hai tia $DN,\,DH$ trùng nhau, do đó $D,\,H\,,N$ thẳng hàng.