Gọi m là giá trị để hàm số f(x) = { (căn bậc hai của (4 − x) − x − 2)/(căn bậc hai của (1 + x) − x) khi 0 < x ≤ 4 m + (4 − x)/(x − 2) khi x ≤ 0 } liên tục tại x = 0. Khẳng định nào sau đây đú

13/25

Gọi m là giá trị để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {4 - x} - x - 2\sqrt {1 + x} }}{x}\,\,khi\,\,0 < x \le 4\\m + \frac{{4 - x}}{{x - 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 0\end{array} \right.\) liên tục tại x = 0. Khẳng định nào sau đây đúng?

\(m \in \left( {\frac{3}{5};\frac{4}{5}} \right)\).

\(m \in \left( { - 1; - \frac{3}{5}} \right)\).

\(m \in \left( {0;\frac{2}{5}} \right)\).

\(m \in \left( { - \frac{2}{5};0} \right)\).

Giải thích

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {4 - x} - x - 2\sqrt {1 + x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {\frac{{\sqrt {4 - x} - 2\sqrt {1 + x} }}{x} - 1} \right)\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {\frac{{4 - x - 4 - 4x}}{{x\left( {\sqrt {4 - x} + 2\sqrt {1 + x} } \right)}} - 1} \right) = - \frac{9}{4}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {m + \frac{{4 - x}}{{x - 2}}} \right) = m - 2\) và f(0) = m – 2.

Để hàm số liên tục tại x = 0 khi và chỉ khi

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow m - 2 = - \frac{9}{4} \Leftrightarrow m = - \frac{1}{4}\).

Vậy \(m \in \left( { - \frac{2}{5};0} \right)\)