Gọi m là giá trị để đồ thị (Cm) của hàm số y=(x^2+2mx+2m^2-1)/(x-1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến với

86/95

Gọi $m$ là giá trị để đồ thị $\left. {C}_{m} \right.$ của hàm số $y=\frac{{x}^{2}+2mx+2{m}^{2}-1}{x-1}$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến với $\left. {C}_{m} \right.$ tại hai điểm này vuông góc với nhau. Khi đó ta có:

$m∈(1;2)$.

$m∈(-2;-1)$.

$m∈(0;1)$.

$m∈(-1;0)$.

Giải thích

Phương trình hoành độ giao điểm của ( ${C}_{m}$ ) với trục hoành là :

$f(x)={x}^{2}+2mx+2{m}^{2}-1=0(x≠1)(1)$.

$\left. {C}_{m} \right.$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt

\[
\Leftrightarrow
\begin{cases}
\Delta' > 0\\
f(1)\ne 0
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
-m^2+1>0\\
2m+2m^2\ne 0
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
-1<m<1\\
m\ne 0
\end{cases}.
\]

Gọi $x_1,x_2$ là 2 nghiệm của phương trình (1), theo vi-et ta có
\[
\begin{cases}
x_1+x_2=-2m\\
x_1x_2=2m^2-1
\end{cases}
\]

Ta có:
\[
y'=\frac{x^2-2x-2m^2-2m+1}{(x-1)^2}.
\]

Tiếp tuyến tại hai giao điểm vuông góc với nhau

\[
\Leftrightarrow y'(x_1)\cdot y'(x_2)=-1
\]

\[
\Leftrightarrow
(x_1^2-2x_1-2m^2-2m+1)(x_2^2-2x_2-2m^2-2m+1)
+(x_1-1)^2(x_2-1)^2=0
\]

\[
\Leftrightarrow
2(x_1x_2-(x_1+x_2)+1)^2
-(2m^2+2m)\big((x_1+x_2)^2-2x_1x_2-2(x_1+x_2)+2\big)
+(2m^2+2m)^2=0
\]

\[
\Leftrightarrow
2(2m^2+2m)^2-(2m^2+2m)(4m^2-4m^2+2+4m+2)+(2m^2+2m)^2=0
\]

\[
\Leftrightarrow
3(2m^2+2m)-4m-4=0
\Leftrightarrow
6m^2+2m-4=0
\]

\[
\Leftrightarrow
\left[
\begin{aligned}
m&=-1\ (\text{loại})\\
m&=\frac{2}{3}\ (\text{tm})
\end{aligned}
\right.
\]

Vậy $m=\frac{2}{3}$.

Đáp án đúng là C